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  3. 设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=

设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=

admin2022-04-02  34
问题 设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=
选项
答案AA*=A*A=|A|E． 当r(A)=n时，|A|≠0，因为|A*|=|A|n-1，所以|A|≠0，从而r(A*)=n；当r(A)=n-1时，由于A至少有一个n-1阶子式不为零，所以存在一个Mij≠0，进而Aij≠0，于是A*≠0，故r(A*)≥1，又因为|A|=0，所以AA*=|A|E=O，根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A*)≤n，而r(A)=n-1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)=1；当r(A)＜n-1时，由于A的所有n-1阶子式都为零，所以A*=0，故r(A*)=0．
解析
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考研数学三

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