设A为n阶矩阵，证明：r(A*)=

admin2022-04-02 88

问题设A为n阶矩阵，证明：r(A^*)=

选项

答案AA^*=A^*A=|A|E．当r(A)=n时，|A|≠0，因为|A^*|=|A|^n-1，所以|A|≠0，从而r(A^*)=n；当r(A)=n-1时，由于A至少有一个n-1阶子式不为零，所以存在一个M_ij≠0，进而A_ij≠0，于是A^*≠0，故r(A^*)≥1，又因为|A|=0，所以AA^*=|A|E=O，根据矩阵秩的性质有r(A)+r(A^*)≤n，而r(A)=n-1，于是得r(A^*)≤1，故r(A^*)=1；当r(A)＜n-1时，由于A的所有n-1阶子式都为零，所以A^*=0，故r(A^*)=0．

解析

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