设x＞0，试证：e2x(1—x)＜1+x。

admin2017-02-22 57

问题设x＞0，试证：e^2x(1—x)＜1+x。

选项

答案设f(x)=e^2x(1—x)—(1+x)，x＞0。f’(x)=e^2x(1一2x)一1，f"(x)=一4xe^2x，x＞0。f"(x)≤0，所以f’(x)在(0，+∞)内递减。在(0，+∞)内，f’(x)＜f’(0)=0，f(x)在(0，+∞)内递减。在(0，+∞)内f(x)＜f(0)，即e^2x(1—x)一(1+x)＜0。亦即当x＞0时，e^2x(1—x)＜1+x。

解析

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