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  3. 欧几里得几何系统的第五条公理判定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。 要使数学家的上述怀疑成立，以下哪项必须成立? Ⅰ．在同一平面上，过直线外一点可

欧几里得几何系统的第五条公理判定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。 要使数学家的上述怀疑成立，以下哪项必须成立? Ⅰ．在同一平面上，过直线外一点可

admin2018-09-14  43
问题 欧几里得几何系统的第五条公理判定：在同一平面上，过直线外一点可以并且只可以作一条直线与该直线平行。在数学发展史上，有许多数学家对这条公理是否具有无可争议的真理性表示怀疑和担心。
要使数学家的上述怀疑成立，以下哪项必须成立?
Ⅰ．在同一平面上，过直线外一点可能无法作一条直线与该直线平行。
Ⅱ．在同一平面上，过直线外一点作多条直线与该直线平行是可能的。
Ⅲ．在同一平面上，如果过直线外一点不可能作多条直线与该直线平行，那么，也可能无法只作一条直线与该直线平行。
选项 A、只有Ⅰ。
B、只有Ⅱ。
C、只有Ⅲ。
D、只有Ⅰ和Ⅱ。
E、Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。
答案C
解析 令P表示“过直线外一点可以作一条直线与该直线平行”。
    Q表示“过直线外一点只可以作一条直线与该直线平行”。
    第五公理是断定“P∧Q”。
    数学家的怀疑就是上述命题的负命题，即“┐P∨┐Q’，意思是：过直线外一点无法作一条直线与该直线平行，或者，可作多条直线与该直线平行。
    问题是“要使数学家的上述怀疑成立，以下哪项必须成立?”也就是等价于“如果以下哪项不成立，则数学家的怀疑就不成立?”也即“如果数学家的上述怀疑成立，那么，以下哪项就一定成立?”
    Ⅰ即是┐P。由“┐P∨┐Q”，不能确定┐P成立。因此，要使对第五公理的怀疑成立，Ⅰ不必须成立。
    Ⅱ即是┐Q。由“┐P∨┐Q”，不能确定┐Q成立。因此，要使对第五公理的怀疑成立，Ⅱ不必须成立。
    Ⅲ即是：Q→┐P。由“┐P∨┐Q”，可以确定“Q→┐P”成立。因此，要使对第五公理的怀疑成立，Ⅲ必须成立。
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