2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)．f(b)＞0，f(a)．k∈R，存在点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=kf(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)．f(b)＞0，f(a)．k∈R，存在点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=kf(ξ)．

admin2017-07-26  34
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)．f(b)＞0，f(a)．k∈R，存在点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=kf(ξ)．
选项
答案令F(x)=e—kξf(x)，则由题设可知，F(x)在[a，b]上连续．不妨假定f(a)＞0，于是有 [*] F(x1)=F(x2)=0． 所以F(x)在[x1，x2]上连续，在(x1，x2)内可导，且F(x1)=F(x2)=0．由洛尔定理，存在点ξ∈(x1，x2)[*](a，b)，使得F’(ξ)=0，即e—kξ[f’(ξ)一kf(ξ)]=0，故有f’(ξ)一kf(ξ)=0．
解析 欲证存在点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)一kf(ξ)=0，即e—kξ[f’(ξ)一kf(ξ)]=0，
即
    [e—kξf(x)]’｜x=ξ=0．
可作辅助函数：F(x)=e—kξf(x)，用介值定理和洛尔定理证明．
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考研数学三

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