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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a).f(b)>0,f(a).k∈R,存在点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=kf(ξ).
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a).f(b)>0,f(a).k∈R,存在点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=kf(ξ).
admin
2017-07-26
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问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a).f(b)>0,f(a).
k∈R,存在点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=kf(ξ).
选项
答案
令F(x)=e
—kξ
f(x),则由题设可知,F(x)在[a,b]上连续.不妨假定f(a)>0,于是有 [*] F(x
1
)=F(x
2
)=0. 所以F(x)在[x
1
,x
2
]上连续,在(x
1
,x
2
)内可导,且F(x
1
)=F(x
2
)=0.由洛尔定理,存在点ξ∈(x
1
,x
2
)[*](a,b),使得F’(ξ)=0,即e
—kξ
[f’(ξ)一kf(ξ)]=0,故有f’(ξ)一kf(ξ)=0.
解析
欲证存在点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)一kf(ξ)=0,即e
—kξ
[f’(ξ)一kf(ξ)]=0,
即
[e
—kξ
f(x)]’|
x=ξ
=0.
可作辅助函数:F(x)=e
—kξ
f(x),用介值定理和洛尔定理证明.
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考研数学三
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