已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分fxy"(x，y)dxdy．

admin2016-06-27 79

问题已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,

其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分

f_xy"(x，y)dxdy．

选项

答案将二重积分[*]转化为累次积分可得 [*] 首先考虑∫₀¹xyf_xy"(x，y)dx，注意这里是把变量y看做常数的，故有 ∫₀¹xyf_xy"(x,y)dx=y∫₀¹xdf_y’(x,y) =xyf_y’(x，y)|₀¹-∫₀¹yf_y’(x，y)dx =yf_y’(1，y)一∫₀¹yf_y’(x，y)dx．由f(1，y)=f(x，1)=0易知f_y’(1，y)=f’(x，1)=0．故 ∫₀¹xyf_xy"(x,y)dx=一∫₀¹yf_y’(x,y)dx， [*] 对该积分交换积分次序可得：一∫₀¹dy∫₀¹yf_y’(x,y)dx=一∫₀¹dx∫₀¹yf_y’(x,y)dy．再考虑积分∫₀¹yf_y’(x，y)dy，注意这里是把变量x看做常数的，故有 ∫₀¹yf_y’(x，y)dy=∫₀¹ydf(x,y)=yf(x,y)|₀¹f(x,y)dy=一∫₀¹f(x,y)dy 因此 [*]

解析

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考研数学三

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已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分fxy"(x，y)dxdy．

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