2. 考研
  3. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分fxy"(x，y)dxdy．

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分fxy"(x，y)dxdy．

admin2016-06-27  95
问题 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0,其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分fxy"(x，y)dxdy．
选项
答案将二重积分[*]转化为累次积分可得 [*] 首先考虑∫01xyfxy"(x，y)dx，注意这里是把变量y看做常数的，故有 ∫01xyfxy"(x,y)dx=y∫01xdfy’(x,y) =xyfy’(x，y)|01-∫01yfy’(x，y)dx =yfy’(1，y)一∫01yfy’(x，y)dx． 由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy’(1，y)=f’(x，1)=0．故 ∫01xyfxy"(x,y)dx=一∫01yfy’(x,y)dx， [*] 对该积分交换积分次序可得： 一∫01dy∫01yfy’(x,y)dx=一∫01dx∫01yfy’(x,y)dy． 再考虑积分∫01yfy’(x，y)dy，注意这里是把变量x看做常数的，故有 ∫01yfy’(x，y)dy=∫01ydf(x,y)=yf(x,y)|01f(x,y)dy=一∫01f(x,y)dy 因此 [*]
解析
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考研数学三

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