2. 考研
  3. 设矩阵A与B相似，且 (1)求a，b的值； (2)求可逆矩阵P，使P－1AP＝B．

设矩阵A与B相似，且 (1)求a，b的值； (2)求可逆矩阵P，使P－1AP＝B．

admin2016-01-25  73
问题 设矩阵A与B相似，且

(1)求a，b的值；  
(2)求可逆矩阵P，使P－1AP＝B．
选项
答案(1)首先将A的特征多项式分解成λ的因式的乘积．为此将｜λE一A｜中不含λ的某素消成零，使其所在的列(或行)产生λ的一次因式． [*] ＝(λ一2)[λ2一(a＋3)λ＋3(a－1)]． 因B的3个特征值为2，2，b，由A～B可知，A与B有相同的特征值，故A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝b．由于2是A的二重特征值，故2是方程 λ2一(a＋3)λ＋3(a－1)＝0 的根．把λ1＝2代入上式即得a＝5，因而有 ｜λE－A｜＝(λ－2)(λ2一8λ＋12)＝(λ－2)2(λ一6)． 于是b＝λ3＝6． (2)解线性方程组(2E—A)X＝0，(6E—A)X＝0分别得到对应于λ1＝λ2＝2，λ3＝6的特征向量 α1＝[1，一1，0]T，α2＝[1，0，1]T；α3＝[1，一2，3]T 令P＝[α1，α2，α3]，有P－1AP＝B，于是P＝[α1，α2，α3]即为所求．
解析 先求出A的3个特征值λ1，λ2，λ3，再分别求出A的对应于λi的特征向量αi(i＝1，2，3)，则可求出可逆矩阵P＝[α1，α2，α3]．
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考研数学三

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