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已知函数f(x)在闭区间[0,c]上可导,f(0)=0,且f′(x)单调递减,证明:当0≤a≤b≤a+b≤c时,有f(a+b)≤f(a)+f(b).
已知函数f(x)在闭区间[0,c]上可导,f(0)=0,且f′(x)单调递减,证明:当0≤a≤b≤a+b≤c时,有f(a+b)≤f(a)+f(b).
admin
2016-03-02
20
问题
已知函数f(x)在闭区间[0,c]上可导,f(0)=0,且f′(x)单调递减,证明:当0≤a≤b≤a+b≤c时,有f(a+b)≤f(a)+f(b).
选项
答案
(Ⅰ)当0<a≤b≤a+b≤C时,因为f(x)在闭区间[0,c]上可导 ∴f(x)在[0,a]和[b,b+a]上都满足拉格朗日中值定理的条件 ∴在(0,a)内至少存在一点ξ
1
,在(b,b+a)内至少存在一点ξ
2
,使得 f(a)-f(0)=f′(ξ
1
)a,f(a+b)一f(b)=f′(ξ
2
)a ∴f(a+b)一f(a)一f(b)=[f′(ξ
2
)一f′(ξ
1
)]a 又∵f′(x)单调递减,且0<ξ
1
<a≤b<ξ
2
<a+b≤c ∴f′(ξ
2
)一f′(ξ
1
)<0,即f(a+b)<f(a)+f(b) (Ⅱ)当a=0时,f(a+b)=f(a)+f(b),即“=”成立 综上可知,当0≤a≤b≤a+b≤c时,有f(a+b)≤f(a)+f(b)
解析
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数学
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