2. 公务员
  3. 平面上有n个圆，其中每两个圆相交于两点，且每三个圆都不相交于一点，用f(n)表示n个圆把平面分成的部分个数．已知厂(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，f(4)=14，…试猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

平面上有n个圆，其中每两个圆相交于两点，且每三个圆都不相交于一点，用f(n)表示n个圆把平面分成的部分个数．已知厂(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，f(4)=14，…试猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

admin2016-03-25  41
问题 平面上有n个圆，其中每两个圆相交于两点，且每三个圆都不相交于一点，用f(n)表示n个圆把平面分成的部分个数．已知厂(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，f(4)=14，…试猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
选项
答案猜想f(n)=n2－n+2． 下面用数学归纳法证明： (1)当n=1时，f(1)=12－1+2=2，成立． (2)假设当n=k时，命题成立，即f(k)=k2－k+2．当n=k+1时，可知前k个圆把平面分成k2－k+2个部分，第k+1个圆与前尼个圆有2k个交点，也就是说第k+1个圆被这k个圆分成了2k条弧，这2k条孤中的每一条把所在的部分分成了2个部分，故共增加了2k个部分，所以f(k+1)=k2－k+2+2k=k2+2k+1－k－1+2=(k+1)2－(k+1)+2，即当n=k+1时，命题也成立． 综上所述，f(n)=n2－n+2成立．
解析
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