设A是m×n矩阵，证明：存在非零的n×s矩阵B，使得AB=O的充要条件是r(A)＜n．

admin2015-07-22 82

问题设A是m×n矩阵，证明：存在非零的n×s矩阵B，使得AB=O的充要条件是r(A)＜n．

选项

答案充分性r(A)＜n，AX=0有非零解，将非零解X组成B，则B≠0，且有AB=O．必要性若AB=O，其中B≠O，设B=[β₁，β₂，…，β_s]，则AB_i=0，i=1，2，…，s．其中β_i，i=1，2，…，s，不全为0，即AX=0有非零解，故r(A)＜n．

解析

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