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设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a). 设函数f(x)=ln(x
设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a). 设函数f(x)=ln(x
admin
2019-06-01
37
问题
设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x
2
-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).
设函数f(x)=ln(x)+
(x>1),其中b为实数
(i)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(ii)求函数f(x)的单调区间.
选项
答案
由f(x)=ln x+[*],得f'(x)=[*].因为x>1时,h(x)=[*]>0,所以函数f(x)具有性质P(b). (ii)当b≤2时,由x>l得x
2
-bx+1≥x
2
-2x+1=(x-1)
2
>0,所以f'(x)>0,从而函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.当b>2时,解方程x
2
-bx+1=0得x
1
=[*].因为x
1
=[*] 所以当x∈(1,x
2
)时,f'(x)<0;当x∈(x
2
,+∞)时,f'(x)>0;当x=x
2
时,f'(x)=0. 从而函数f(x)在区间(1,x
2
)上单调递减,在区间(x
2
,+∞)上单调递增. 综上所述,当b≤2时,函数f(x)的单调增区间为(1,+∞);当b>2时,函数f(x)的单调减区间为(1,[*]),单凋增区间为([*],+∞).
解析
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