设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ2是A2的特征值，X为特征向量．若A2有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．

admin2023-02-21 53

问题设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ²是A²的特征值，X为特征向量．若A²有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．

选项

答案由AX＝λX得A²X＝A(κX)＝A(λX)＝λAX＝λ²X可知λ²是A²的特征值，X为特征向量．若A²X＝λX，其中A＝[*]，A²＝O，A²的特征值为λ＝0，取X＝[*]．显然A²X＝0X，但AX＝[*]≠0X，即X不是A的特征向量，因此结论未必成立．

解析

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考研数学一

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