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试证:当x>0时,有不等式x>sinx>x-
试证:当x>0时,有不等式x>sinx>x-
admin
2016-10-01
58
问题
试证:当x>0时,有不等式x>sinx>x-
选项
答案
可将不等式分成两部分来证,即x>sinx,sinx>x-[*].分别设f(x)=x-sinx和g(x)=sinx-x+[*],然后再分别求导数,利用单调性思想即可证出. 证明 先证x>sinx(x>0). 设f(x)=x-sinx,则fˊ(x)=1-cosx≥0(x>0), 所以f(x)为单调递增函数,于是对x>0有,f(x)>f(0)=0, 即 x-sinx>0,亦即x>sinx(x>0). 再证sinx>x-[*](x>0). 令g(x)=sinx-x+[*], gˊ(x)=cosx-1+x, 则 gˊˊ(x)=-sinx+1≥0, 所以gˊ(x)单调递增,又gˊ(0)=0,可知gˊ(x)>gˊ(0)=0(x>0),那么有g(x)单调递增.又g(0)=0,可知g(x)>g(0)=0(x>0), 所以 sinx-x+[*]>0 即sinx>x-[*](x>0) 综上可得:当x>0时,x>sinx>x-[*]
解析
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