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试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞x－

admin2016-10-01  69
问题 试证：当x＞0时，有不等式x＞sinx＞x－
选项
答案可将不等式分成两部分来证，即x＞sinx，sinx＞x－[*]．分别设f(x)=x－sinx和g(x)=sinx－x+[*]，然后再分别求导数，利用单调性思想即可证出． 证明 先证x＞sinx(x＞0)． 设f(x)=x－sinx，则fˊ(x)=1－cosx≥0(x＞0)， 所以f(x)为单调递增函数，于是对x＞0有，f(x)＞f(0)=0， 即 x－sinx＞0，亦即x＞sinx(x＞0)． 再证sinx＞x－[*](x＞0)． 令g(x)=sinx－x+[*]， gˊ(x)=cosx－1+x， 则 gˊˊ(x)=－sinx+1≥0， 所以gˊ(x)单调递增，又gˊ(0)=0，可知gˊ(x)＞gˊ(0)=0(x＞0)，那么有g(x)单调递增．又g(0)=0，可知g(x)＞g(0)=0(x＞0)， 所以 sinx－x+[*]＞0 即sinx＞x－[*](x＞0) 综上可得：当x＞0时，x＞sinx＞x－[*]
解析
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