已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量. (1)证明X,AX线性无关; (2)若A2X+AX一6X=0,求A的特征值,并讨论A可否对角化.

admin2016-12-16  34

问题 已知二维非零向量X不是二阶方阵A的特征向量.
(1)证明X,AX线性无关;
(2)若A2X+AX一6X=0,求A的特征值,并讨论A可否对角化.

选项

答案(1)用反证法证之.若X与AX线性相关,则存在不全为零的常数k1 ,k2使k1X+k2AX=0.为方便计,设k2≠0,则AX=[*]于是X为A的特征向量,与题设矛盾. (2)由题设有 A2X+AX_6X=(A+3E)(A一2E)X=0.① 下证A—2E,A+3E必不可逆,即|A一2E|=|A+3E|=0. 事实上,如A+3E可逆,则由方程①得到 (A一2E)X=AX一2X=0,即 AX=2X. 这说明X为A的特征向量与题设矛盾,故 |A+3E|=0.② 同法可证A一2E也不可逆,即 |A一2E|=0.③ 由式②、式③即知,一3与2为A的特征值,所以A能与对角阵相似.

解析 A为抽象矩阵,则AX,X均为抽象的向量组.讨论其特征值、特征向量的有关问题常用有关定义及其性质证明,也常用反证法证之.
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