设A为三阶实对称矩阵,且其特征值为λ1=λ2=1,λ3=0,假设ξ1,ξ2是矩阵A的不同特征向量,且A(ξ1+ξ2)=ξ2. (Ⅰ)证明:ξ1,ξ2正交; (Ⅱ)求方程组AX=ξ2的通解.

admin2014-12-09  86

问题 设A为三阶实对称矩阵,且其特征值为λ1=λ2=1,λ3=0,假设ξ1,ξ2是矩阵A的不同特征向量,且A(ξ1+ξ2)=ξ2
(Ⅰ)证明:ξ1,ξ2正交;
(Ⅱ)求方程组AX=ξ2的通解.

选项

答案(Ⅰ)若ξ1,ξ2都是属于特征值λ1=λ2=1的特征向量,则Aξ1=ξ1,Aξ2=ξ2,由A(ξ1+ξ2)=ξ2,得ξ1=0,矛盾;若ξ1,ξ2都是属于特征值λ3=0的特征向量,则有Aξ1=0,Aξ2=0,由A(ξ1+ξ2)=ξ2,得ξ2=0,矛盾,所以ξ1,ξ2是属于不同特征向量,而A是实对称矩阵,所以ξ1,ξ2正交,即ξ1Tξ2=0. (Ⅱ)因为[*],所以r(A)=2.若Aξ1=ξ1,则Aξ2=0,由A(ξ12)=ξ2,得ξ12,矛盾,所以Aξ1=0,Aξ2=ξ2,于是AX=ξ2的通解为X=kξ1+ξ2(其中k为任意常数).

解析
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