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设A为三阶实对称矩阵,且其特征值为λ1=λ2=1,λ3=0,假设ξ1,ξ2是矩阵A的不同特征向量,且A(ξ1+ξ2)=ξ2. (Ⅰ)证明:ξ1,ξ2正交; (Ⅱ)求方程组AX=ξ2的通解.
设A为三阶实对称矩阵,且其特征值为λ1=λ2=1,λ3=0,假设ξ1,ξ2是矩阵A的不同特征向量,且A(ξ1+ξ2)=ξ2. (Ⅰ)证明:ξ1,ξ2正交; (Ⅱ)求方程组AX=ξ2的通解.
admin
2014-12-09
117
问题
设A为三阶实对称矩阵,且其特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=0,假设ξ
1
,ξ
2
是矩阵A的不同特征向量,且A(ξ
1
+ξ
2
)=ξ
2
.
(Ⅰ)证明:ξ
1
,ξ
2
正交;
(Ⅱ)求方程组AX=ξ
2
的通解.
选项
答案
(Ⅰ)若ξ
1
,ξ
2
都是属于特征值λ
1
=λ
2
=1的特征向量,则Aξ
1
=ξ
1
,Aξ
2
=ξ
2
,由A(ξ
1
+ξ
2
)=ξ
2
,得ξ
1
=0,矛盾;若ξ
1
,ξ
2
都是属于特征值λ
3
=0的特征向量,则有Aξ
1
=0,Aξ
2
=0,由A(ξ
1
+ξ
2
)=ξ
2
,得ξ
2
=0,矛盾,所以ξ
1
,ξ
2
是属于不同特征向量,而A是实对称矩阵,所以ξ
1
,ξ
2
正交,即ξ
1
T
ξ
2
=0. (Ⅱ)因为[*],所以r(A)=2.若Aξ
1
=ξ
1
,则Aξ
2
=0,由A(ξ
1
+
2
)=ξ
2
,得ξ
1
=
2
,矛盾,所以Aξ
1
=0,Aξ
2
=ξ
2
,于是AX=ξ
2
的通解为X=kξ
1
+ξ
2
(其中k为任意常数).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/r8bD777K
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考研数学二
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