2. 考研
  3. 设A为三阶实对称矩阵，且其特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝0，假设ξ1，ξ2是矩阵A的不同特征向量，且A(ξ1＋ξ2)＝ξ2． (Ⅰ)证明：ξ1，ξ2正交； (Ⅱ)求方程组AX＝ξ2的通解．

设A为三阶实对称矩阵，且其特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝0，假设ξ1，ξ2是矩阵A的不同特征向量，且A(ξ1＋ξ2)＝ξ2． (Ⅰ)证明：ξ1，ξ2正交； (Ⅱ)求方程组AX＝ξ2的通解．

admin2014-12-09  148
问题 设A为三阶实对称矩阵，且其特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝0，假设ξ1，ξ2是矩阵A的不同特征向量，且A(ξ1＋ξ2)＝ξ2．
(Ⅰ)证明：ξ1，ξ2正交；
(Ⅱ)求方程组AX＝ξ2的通解．
选项
答案(Ⅰ)若ξ1，ξ2都是属于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量，则Aξ1＝ξ1，Aξ2＝ξ2，由A(ξ1＋ξ2)＝ξ2，得ξ1＝0，矛盾；若ξ1，ξ2都是属于特征值λ3＝0的特征向量，则有Aξ1＝0，Aξ2＝0，由A(ξ1＋ξ2)＝ξ2，得ξ2＝0，矛盾，所以ξ1，ξ2是属于不同特征向量，而A是实对称矩阵，所以ξ1，ξ2正交，即ξ1Tξ2＝0. (Ⅱ)因为[*]，所以r(A)＝2．若Aξ1＝ξ1，则Aξ2＝0，由A(ξ1＋2)＝ξ2，得ξ1＝2，矛盾，所以Aξ1＝0，Aξ2＝ξ2，于是AX＝ξ2的通解为X＝kξ1＋ξ2(其中k为任意常数)．
解析
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考研数学二

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