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设曲线y=y(x)(x>0)是微分方程2yˊˊ+yˊ-y=(4-6x)e-x的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴. 求曲线y=y(x)的表达式;
设曲线y=y(x)(x>0)是微分方程2yˊˊ+yˊ-y=(4-6x)e-x的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴. 求曲线y=y(x)的表达式;
admin
2016-05-17
76
问题
设曲线y=y(x)(x>0)是微分方程2yˊˊ+yˊ-y=(4-6x)e
-x
的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴.
求曲线y=y(x)的表达式;
选项
答案
微分方程的特征方程为 2λ
2
+λ-1=0, 特征值为λ
1
=-1,λ
2
=[*],则微分方程2yˊˊ+yˊ-y=0的通解为 y=C
1
e
-x
+C
2
[*] 令非齐次线性微分方程2yˊˊ+yˊ-y=(4—6x)e
-x
的特解为y
0
(x)=x(ax+b)e
-x
, 代入原方程得a=1,b=0,故原方程的特解为y
0
(x)=x
2
e
-x
,原方程的通解为 y=C
1
e
-x
+C
2
[*]+x
2
e
-x
, 由初始条件y(0)=yˊ(0)=0得C
1
=C
2
=0,故y=x
2
e
-x
.
解析
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考研数学二
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