设曲线y=y(x)(x>0)是微分方程2yˊˊ+yˊ-y=(4-6x)e-x的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴. 求曲线y=y(x)的表达式;

admin2016-05-17  53

问题 设曲线y=y(x)(x>0)是微分方程2yˊˊ+yˊ-y=(4-6x)e-x的一个特解,此曲线经过原点且在原点处的切线平行于x轴.
求曲线y=y(x)的表达式;

选项

答案微分方程的特征方程为 2λ2+λ-1=0, 特征值为λ1=-1,λ2=[*],则微分方程2yˊˊ+yˊ-y=0的通解为 y=C1e-x+C2[*] 令非齐次线性微分方程2yˊˊ+yˊ-y=(4—6x)e-x的特解为y0(x)=x(ax+b)e-x, 代入原方程得a=1,b=0,故原方程的特解为y0(x)=x2e-x,原方程的通解为 y=C1e-x+C2[*]+x2e-x, 由初始条件y(0)=yˊ(0)=0得C1=C2=0,故y=x2e-x

解析
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