设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．

admin2022-11-02 19

问题设曲线L₁与L₂皆过点(1，1)，曲线L₁在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L₂在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．

选项

答案对曲线L₁，由题意得d/dx(y/x)=2，解得y=x(2x+C₁)，因为曲线L₁过点(1，1)，所以C₁=-1，故L₁：y=2x²-x，对曲线L₂，由题意得d/dx(xy)=2，解得y=(2x+C₂)/x，因为曲线L₂过点(1，1)，所以C₂=-1，故L₂：y=2-1/x．由2x²-x=2-1/x得两条曲线的交点为(1/2，0)及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为A=∫_1/2¹(2-1/2-2x²+x)dx=19/24-ln2．

解析

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考研数学三

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设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．

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