直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W：+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点．当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

admin2018-11-23 60

问题直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W：

+y²=1相交于A，C两点，O是坐标原点．
当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

选项

答案假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W上的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0．由[*] 得到(1+4k²)x²+8kmx+4m²一4=0．设A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，得到：[*] 所以AC中点[*] 因为M为AC，OB的交点，且m≠0，k≠0． ∴OB的斜率为[*] 因为[*]所以AC和OB不垂直，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．

解析

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直线y=kx+m(m≠0)与椭圆W：+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点． 当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

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