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因为f(x)在[0,1]上二阶可导,所以f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,由闭区间上连续函数最值定理知,f(x)在[0,1]取到最小值且最小值在(0,1)内达到,即存在c∈(0,1),使得f(c)=-1,再由费马定理知f’(c)=0,根据
因为f(x)在[0,1]上二阶可导,所以f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,由闭区间上连续函数最值定理知,f(x)在[0,1]取到最小值且最小值在(0,1)内达到,即存在c∈(0,1),使得f(c)=-1,再由费马定理知f’(c)=0,根据
admin
2022-10-09
65
问题
选项
答案
因为f(x)在[0,1]上二阶可导,所以f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,由闭区间上连续函数最值定理知,f(x)在[0,1]取到最小值且最小值在(0,1)内达到,即存在c∈(0,1),使得f(c)=-1,再由费马定理知f’(c)=0,根据泰勒公式f(0)=f(c)+f’(c)(0-c)+f"(ξ
1
)/2!(0-c)
2
,ξ
1
∈(0,c),f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+f"(ξ
2
)/2!(1-c)
2
,ξ
2
∈(c,1),整理得f"(ξ
1
)=2/c
2
,f"(x)=2/(1-c)
2
,当c∈(0,1/2]时,f"(ξ
1
)=2/c
2
≥8,取ξ=ξ
1
;当c∈(1/2,1)时,f"(ξ
2
)=2/(1-c)
2
≥8,取ξ=ξ
2
.所以存在ξ∈(0,1),使得f"(x)≥8.
解析
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考研数学三
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求
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