2. 考研
  3. 设x1=1，x2=1／2，xn+1=(n=1，2，…)．试求极限xn．

设x1=1，x2=1／2，xn+1=(n=1，2，…)．试求极限xn．

admin2022-10-31  58
问题 设x1=1，x2=1／2，xn+1=(n=1，2，…)．试求极限xn．
选项
答案因为xn+1-xn=[*]，由x2-x1＜0，可得x3-x2＞0，以此类推 x4-x3＞0，…，x2k-x2k-1＜0，x2k+1-x2k＞0，…， 显然{xn}本身不是单调数列． 设正数a满足[*]=a(a=0．618…)，若xn＜a,则xn+1=[*]=a；若xn＞a，则xn+1=[*]=a；而x1=1＞0．618…．于是可得x2k-1＞a,x2k＜a． 由于 xn+2-xn [*] 因此当xn＜a时，有xn+2-xn＞0，当xn＞a时，有xn+2-xn＜0．但因x2k＜a,x2k-1＞a，所以{x2k}是递增有上界数列(a为上界)，{x2k-1}是递减有下界数列(a为下界)．由单调有界定理，存在如下极限 [*] 对递推关系xn+1=[*]分别当n=2k-1，n=2k取极限，可得[*]．由此易知 α=β=a=0．618…， 所以[*]xn=a．
解析
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考研数学三

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