一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7／8，问雪堆全部融化需要多少小时?

admin2018-04-14 105

问题一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7／8，问雪堆全部融化需要多少小时?

选项

答案半球形雪堆在时刻t时设其半径为r，则半球体积V=2／3πr³，侧面积S=2πr²。由题设体积融化的速率与半球面面积S成正比，知：dV／dt=－KS。由于r是t的函数，dV／dt=d／dt(1／3πr³)=2πr²dr／dt，代入上式，得：2πr²dr／dt=－KS，即2πr²dr／dt－K．2πr²，从而dr=－Kdt，r|_t=0=r₀。积分得r=－Kt+C，把r|_t=0=r₀代入，得C=r₀，所以r=－Kt+r₀。又半径为r₀的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7／8，即V|_t=3=V₀－[*]V₀=1／8v₀，其中V₀表示t=0时的V。以V的公式代入上式，为 V|_t=3=2／3πr³|_t=3=1／8．2／3πr₀³，将r=－Kt+r₀(代入上式，两边约去2／3π，得： (－Kt+r₀)³=1／8r₀³，即－Kt+r₀=1／2r₀，从而求得：K=1／6r₀，于是r=－Kt+r₀=－1／6r₀t+r₀=r₀(1－[*])，当t=6时r=0，雪融化完。

解析

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考研数学二

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一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7／8，问雪堆全部融化需要多少小时?

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