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一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K>0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小时?
一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K>0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小时?
admin
2018-04-14
74
问题
一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S成正比,比例常数K>0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为r
0
的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小时?
选项
答案
半球形雪堆在时刻t时设其半径为r,则半球体积V=2/3πr
3
,侧面积S=2πr
2
。由题设体积融化的速率与半球面面积S成正比,知:dV/dt=-KS。 由于r是t的函数,dV/dt=d/dt(1/3πr
3
)=2πr
2
dr/dt,代入上式,得:2πr
2
dr/dt=-KS,即2πr
2
dr/dt-K.2πr
2
,从而dr=-Kdt,r|
t=0
=r
0
。 积分得r=-Kt+C,把r|
t=0
=r
0
代入,得C=r
0
,所以r=-Kt+r
0
。 又半径为r
0
的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的7/8,即V|
t=3
=V
0
-[*]V
0
=1/8v
0
,其中V
0
表示t=0时的V。以V的公式代入上式,为 V|
t=3
=2/3πr
3
|
t=3
=1/8.2/3πr
0
3
, 将r=-Kt+r
0
(代入上式,两边约去2/3π,得: (-Kt+r
0
)
3
=1/8r
0
3
,即-Kt+r
0
=1/2r
0
, 从而求得:K=1/6r
0
,于是r=-Kt+r
0
=-1/6r
0
t+r
0
=r
0
(1-[*]),当t=6时r=0,雪融化完。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/rRk4777K
0
考研数学二
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