2. 考研
  3. 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7／8，问雪堆全部融化需要多少小时?

一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7／8，问雪堆全部融化需要多少小时?

admin2018-04-14  71
问题 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K＞0。假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7／8，问雪堆全部融化需要多少小时?
选项
答案半球形雪堆在时刻t时设其半径为r，则半球体积V=2／3πr3，侧面积S=2πr2。由题设体积融化的速率与半球面面积S成正比，知：dV／dt=－KS。 由于r是t的函数，dV／dt=d／dt(1／3πr3)=2πr2dr／dt，代入上式，得：2πr2dr／dt=－KS，即2πr2dr／dt－K．2πr2，从而dr=－Kdt，r|t=0=r0。 积分得r=－Kt+C，把r|t=0=r0代入，得C=r0，所以r=－Kt+r0。 又半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7／8，即V|t=3=V0－[*]V0=1／8v0，其中V0表示t=0时的V。以V的公式代入上式，为 V|t=3=2／3πr3|t=3=1／8．2／3πr03， 将r=－Kt+r0(代入上式，两边约去2／3π，得： (－Kt+r0)3=1／8r03，即－Kt+r0=1／2r0， 从而求得：K=1／6r0，于是r=－Kt+r0=－1／6r0t+r0=r0(1－[*])，当t=6时r=0，雪融化完。
解析
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考研数学二

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