设A是阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关列向量,且满足Aα1=α1+2α2+α3,A(α1+α2)=2α1+α2+α3,A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3,则|A|=_______.

admin2014-04-16  25

问题 设A是阶矩阵,α123是3维线性无关列向量,且满足Aα11+2α23,A(α12)=2α123,A(α123)=α12+2α3,则|A|=_______.

选项

答案一4

解析 法一  由题设条件Aα11+2α23,A(α12)=2α123,A(α123)=α12+2α3故A(α1,α12,α123)=A(α1,α2,α3)=(α1+2α23,2α123,α12+2α3)=(α1,α2,α3)
两边取行列式,得

因α123线性无关,所以|(α123)|≠0,又故有
法二  Aα11+2α23,A(α12)=2α123,故Aα2=A(α12)一Aα11一α2,A(α123)=α12+2α3,Aα3=A(α123)一Aα1一Aα23一α1,故[Aα1,Aα2,Aα3]=A[α1,α2,α3]=[α1+2α23,α12,α3一α1]
两边取行列式,因{(α1,α2,α3)]≠0,则
或P=[α123]可逆,得A[α123]=[α123]
相似矩阵有相同的行列式,故
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