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设A是阶矩阵，α1,α2,α3是3维线性无关列向量，且满足Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，则｜A｜=_______．
设A是阶矩阵，α1,α2,α3是3维线性无关列向量，且满足Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，则｜A｜=_______．
admin
2014-04-16
75
问题
设A是阶矩阵，α
1
,α
2
,α
3
是3维线性无关列向量，且满足Aα
1
=α
1
+2α
2
+α
3
，A(α
1
+α
2
)=2α
1
+α
2
+α
3
，A(α
1
+α
2
+α
3
)=α
1
+α
2
+2α
3
，则｜A｜=_______．
选项
答案
一4
解析
法一 由题设条件Aα
1
=α
1
+2α
2
+α
3
，A(α
1
+α
2
)=2α
1
+α
2
+α
3
，A(α
1
-α
2
+α
3
)=α
1
+α
2
+2α
3
故A(α
1
，α
1
+α
2
，α
1
+α
2
+α
3
)=A(α
1
，α
2
，α
3
)
=(α
1
+2α
2
+α
3
，2α
1
+α
2
+α
3
，α
1
+α
2
+2α
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)
两边取行列式，得
因α
1
,α
2
,α
3
线性无关，所以｜(α
1
,α
2
,α
3
)｜≠0，又
故有
法二 Aα
1
=α
1
+2α
2
+α
3
，A(α
1
+α
2
)=2α
1
+α
2
+α
3
，故Aα
2
=A(α
1
+α
2
)一Aα
1
=α
1
一α
2
，A(α
1
+α
2
+α
3
)=α
1
+α
2
+2α
3
，Aα
3
=A(α
1
+α
2
+α
3
)一Aα
1
一Aα
2
=α
3
一α
1
，故[Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
]=A[α
1
，α
2
，α
3
]=[α
1
+2α
2
+α
3
，α
1
-α
2
，α
3
一α
1
]
两边取行列式，因{(α
1
，α
2
，α
3
)]≠0，则
或P=[α
1
,α
2
,α
3
]可逆，得A[α
1
,α
2
,α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
相似矩阵有相同的行列式，故
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