2. 考研
  3. 设A是阶矩阵，α1,α2,α3是3维线性无关列向量，且满足Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，则｜A｜=_______．

设A是阶矩阵，α1,α2,α3是3维线性无关列向量，且满足Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，则｜A｜=_______．

admin2014-04-16  32
问题 设A是阶矩阵，α1,α2,α3是3维线性无关列向量，且满足Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，则｜A｜=_______．
选项
答案一4
解析 法一  由题设条件Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，A(α1-α2+α3)=α1+α2+2α3故A(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=A(α1，α2，α3)=(α1+2α2+α3，2α1+α2+α3，α1+α2+2α3)=(α1，α2，α3)
两边取行列式，得

因α1,α2,α3线性无关，所以｜(α1,α2,α3)｜≠0，又故有
法二  Aα1=α1+2α2+α3，A(α1+α2)=2α1+α2+α3，故Aα2=A(α1+α2)一Aα1=α1一α2，A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3，Aα3=A(α1+α2+α3)一Aα1一Aα2=α3一α1，故[Aα1，Aα2，Aα3]=A[α1，α2，α3]=[α1+2α2+α3，α1-α2，α3一α1]
两边取行列式，因{(α1，α2，α3)]≠0，则
或P=[α1,α2,α3]可逆，得A[α1,α2,α3]=[α1,α2,α3]
相似矩阵有相同的行列式，故
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考研数学二

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