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设A是阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关列向量,且满足Aα1=α1+2α2+α3,A(α1+α2)=2α1+α2+α3,A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3,则|A|=_______.
设A是阶矩阵,α1,α2,α3是3维线性无关列向量,且满足Aα1=α1+2α2+α3,A(α1+α2)=2α1+α2+α3,A(α1+α2+α3)=α1+α2+2α3,则|A|=_______.
admin
2014-04-16
25
问题
设A是阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是3维线性无关列向量,且满足Aα
1
=α
1
+2α
2
+α
3
,A(α
1
+α
2
)=2α
1
+α
2
+α
3
,A(α
1
+α
2
+α
3
)=α
1
+α
2
+2α
3
,则|A|=_______.
选项
答案
一4
解析
法一 由题设条件Aα
1
=α
1
+2α
2
+α
3
,A(α
1
+α
2
)=2α
1
+α
2
+α
3
,A(α
1
-α
2
+α
3
)=α
1
+α
2
+2α
3
故A(α
1
,α
1
+α
2
,α
1
+α
2
+α
3
)=A(α
1
,α
2
,α
3
)
=(α
1
+2α
2
+α
3
,2α
1
+α
2
+α
3
,α
1
+α
2
+2α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)
两边取行列式,得
因α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以|(α
1
,α
2
,α
3
)|≠0,又
故有
法二 Aα
1
=α
1
+2α
2
+α
3
,A(α
1
+α
2
)=2α
1
+α
2
+α
3
,故Aα
2
=A(α
1
+α
2
)一Aα
1
=α
1
一α
2
,A(α
1
+α
2
+α
3
)=α
1
+α
2
+2α
3
,Aα
3
=A(α
1
+α
2
+α
3
)一Aα
1
一Aα
2
=α
3
一α
1
,故[Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
]=A[α
1
,α
2
,α
3
]=[α
1
+2α
2
+α
3
,α
1
-α
2
,α
3
一α
1
]
两边取行列式,因{(α
1
,α
2
,α
3
)]≠0,则
或P=[α
1
,α
2
,α
3
]可逆,得A[α
1
,α
2
,α
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
]
相似矩阵有相同的行列式,故
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