2. 考研
  3. 试分别按函数极限的 (1)定义； (2)柯西准则； (3)归结原则， 写出f(x)在x→x0时极限不存在”的正确陈述，行以狄利克雷函数：为例说明x→1时D(x)的极限不存在．

试分别按函数极限的 (1)定义； (2)柯西准则； (3)归结原则， 写出f(x)在x→x0时极限不存在”的正确陈述，行以狄利克雷函数：为例说明x→1时D(x)的极限不存在．

admin2022-10-31  23
问题 试分别按函数极限的
    (1)定义；
    (2)柯西准则；
    (3)归结原则，
    写出f(x)在x→x0时极限不存在”的正确陈述，行以狄利克雷函数：为例说明x→1时D(x)的极限不存在．
选项
答案(1)对[*]A∈R，[*]ε0＞0．对无论多么小的δ＞0．总有x’∈U0(x0，δ)．使得｜f(x’)-A｜≥ε0． 以D(x)为例：若A≠1，则ε0=[*]，对[*]δ＞0．由实数的稠密性，[*]有理数x’∈U0(1；δ)，使得D(x’)=1，从而有 ｜D(x’)-A｜=｜1-A｜≥[*]=ε0． 若A=1．则取ε0=1／2，对[*]δ＞0，由实数的稠密性，[*]无理数x”∈U0(1；δ)，使得D(x”)=0．从而有 ｜D(x”)-A｜=｜D(x”)-1｜-1＞1／2=ε0． (2)[*]ε0＞0，对无论多么小的δ＞0，总存在x’，x”∈U0(x0；δ)，使得｜f(x’)-f(x”)｜≥ε0． 以D(x)为例：取ε0=1／2，对[*]δ＞0，由实数的稠密性．在U0(1；δ)内既存在有理数x’，又存在无理数x”．因为D(x’)=1，D(x”)=0．从而有 ｜D(x’)- D(x”)｜=｜1-0｜=1＞1／2=ε0． (3)存在数列{xn}[*]U0(x0)且[*]，无论N＞0多么大，都存在n0＞N，有｜f([*])-A｜≥ε0． 以D(x)为例：已知[*]为无理数，从而对[*]也都是无理数，且有[*]和D(x2n-1)=0(n=1，2，…)， [*] 综上所述，数列{xn}收敛于1，但[*]
解析
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考研数学二

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