设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，且f’(0)=1，又f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，求f(x)．

admin2017-07-26 41

问题设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，且f’(0)=1，又f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，求f(x)．

选项

答案令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0． [*] =f(x)+e^x，即f’(x)一f(x)=e^x，f(0)=0，这是一阶非齐次线性微分方程，通解为： f(x)=e^∫dx(∫e^xe^—∫dxdx+c)=ce^x+xe^x．由f(0)=0，得c=0，所以，f(x)=xe^x．

解析由已知条件f(x+y)一f(x)=f(x)e^y+f(y)e^x—f(x)，建立f(x)应满足的微分方程，然后解方程求出f(x)．

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