2. 考研
  3. 设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T 和 向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T． 试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值

设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T 和 向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T． 试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值

admin2014-05-19  76
问题 设有向量组(I)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T
和
向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．
试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案对(α1，α2，α3 丨β1，β2，β3作初等行变换，有 (α1，α2，α3丨β1，β2，β3)=[*] [*] (1)当a≠-1时，行列式丨α1，α2，α3丨=a+1≠0，由克莱姆法则，知三个线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有唯一解．所以，β1，β2，β3可由向量组(I)线性表出． 由于行列式 丨β1，β2，β3丨=[*] 故对Va，方程组x1β1+x2β2+x3β3=αj(j=1，2，3)均有唯一解．所以，β1，β2，β3可由向量组(I)线性表出．恒有唯一解，即β1，β2，β3总可由向量组(Ⅱ)线 性表出． 因此，当a≠-1时，向量组(I)与(Ⅱ)等价． (2)当a=-1时，有 [*] 由于秩r(α1，α2，α3)≠r(α1，α2，α3，β1)，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1无解，故向量β1不能由α1，α2，α3线性表示．因此，向量组(I)与(Ⅱ)不等价．
解析 所谓向量组(I)与(II)等价，即向量组(I)与(Ⅱ)可以互相线性表出．若方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，即β可以由α1，α2，α3线性表出．若对同一个a，三个方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有解，即向量组(II)可以由(I)线性表出．
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考研数学三

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