已知A，B为三阶矩阵，且有相同的特征值1，2，2，则下列命题： ①A，B等价； ②A，B相似； ③若A，B为实对称矩阵，则A，B合同； ④行列式｜A一2E｜＝｜2E—A｜中；命题成立的有( )．

admin2016-01-25 81

问题已知A，B为三阶矩阵，且有相同的特征值1，2，2，则下列命题：
①A，B等价；
②A，B相似；
③若A，B为实对称矩阵，则A，B合同；
④行列式｜A一2E｜＝｜2E—A｜中；
命题成立的有( )．

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案C

解析要充分利用特征值的作用，它可以确定矩阵的秩，可以确定矩阵的行列式．
利用这些可检验上述诸命题．
由题设知A，B的秩相同，r(A)＝r(B)＝3，因此A，B等价；若A，B为实对称矩阵，则
其正负惯性指数相同，从而A，B合同；矩阵A－2E与2E－A均有一个特征值为零，故行列式
｜A一2E｜＝｜2E一A｜＝0．
但由A，B有相同的特征值，推导不出A，B相似．故仅(C)入选．

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考研数学三

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已知A，B为三阶矩阵，且有相同的特征值1，2，2，则下列命题： ①A，B等价； ②A，B相似； ③若A，B为实对称矩阵，则A，B合同； ④行列式｜A一2E｜＝｜2E—A｜中；命题成立的有( )．

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