设A为三阶矩阵，α1,α2,α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1一α2，Aα3=α1一α2+4α3．求可逆Q，使得Q一1AQ为对角阵．

admin2017-03-02 80

问题设A为三阶矩阵，α₁,α₂,α₃是三维线性无关的向量组，且Aα₁=α₁+3α₂，Aα₂=5α₁一α₂，Aα₃=α₁一α₂+4α₃．
求可逆Q，使得Q^一1AQ为对角阵．

选项

答案因为A～B，所以B的特征值为λ₁=一4，λ₂=λ₃=4．当λ₁=一4时，由(一4E—B)X=0得[*] 当λ₂=λ₃=4时，由(4E—B)X=0得[*] 因为P^一1AP=B，所以 P₁^一1P^一1APP₁=P^一1BP₁=[*] 取Q=PP₁=(一α₁+α₂，5α₁+3α₂，α₁+3α₃)，则[*]

解析

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考研数学三

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设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
求微分方程y〞ˊ－yˊ＝0的一条积分曲线，使此积分曲线在原点处有拐点，且以直线y＝2x为切线．
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