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设f(x),g(x)在[a,b]上连续.证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.
设f(x),g(x)在[a,b]上连续.证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.
admin
2016-09-13
58
问题
设f(x),g(x)在[a,b]上连续.证明:至少存在一点ξ∈(a,b),使得
f(ξ)∫
ξ
b
g(x)dx=g(ξ)∫
a
ξ
f(x)dx.
选项
答案
记G(x)=f(x)∫
x
b
g(t)dt-g(x)∫
a
x
f(t)dt,则G(x)的原函数为 F(x)=∫
a
x
f(t)dt∫
x
b
g(t)dt+C,其中C为任意常数, 因为f(x),g(x)在[a,b]上连续,所以F(x):(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)F(a)=F(b)=C,即F(x)在[a,b]上满足罗尔定理,所以,至少存在一个ξ∈(a,b),使得Fˊ(ξ)=0,即f(ξ)∫
ξ
b
g(x)dx=g(ξ)∫
a
ξ
f(x)dx.
解析
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考研数学三
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