已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2019-04-22 39

问题已知

二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2。
求正交变换x=Qy将f化为标准形。

选项

答案由(I)中结果，令矩阵 [*] 解得矩阵B的特征值为λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6。由(λ_iE—B)x=0，得对应特征值λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6的特征向量分别为η₁=(一1，一1，1)^T，η₂=(一1，1，0)^T，η₃=(1，1，2)^T。将η₁，η₂，η₃单位化可得： [*] 则正交变换x=Qy可将原二次型化为2y₂²+6y₃²。

解析

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考研数学二

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设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有其中x’为x关于x0的对称点．
(1)设f(x)在(一∞，+∞)上连续，证明f(x)是以l(＞0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx．(2)计算
求不定积分
考虑二次型f＝χ12＋4χ22＋4χ32＋2λχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3，问λ取何值时，f为正定二次型?
f(χ1，χ2，χ3，χ4)＝XTAX的正惯性指数是2，且A2＝2A＝O，该二次型的规范形为_______．
设A＝(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α3，α5线性无关，且α2＝3α1－α3－α5，α4＝2α1＋α3＋6α5，求方程组AX＝0的通解．
设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为。求A；

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