设A是n阶可逆矩阵，且A与A-1的元素都是整数，证明：｜A｜=±1．

admin2016-10-20 99

问题设A是n阶可逆矩阵，且A与A^-1的元素都是整数，证明：｜A｜=±1．

选项

答案因为AA^-1=E，有｜A｜｜A^-1｜=1．因为A的元素都是整数，按行列式定义｜A｜是不同行不同列元素乘积的代数和，所以｜A｜必是整数．同理由A^-1的元素都是整数而知｜A^-1｜必是整数．因为两个整数｜A｜和｜A^-1｜相乘为1，所以｜A｜与｜A^-1｜只能取值为±1．

解析

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