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设A为n阶方阵,且A2=A,证明:若A的秩为r<n,则A—E的秩为n一r,其中E是n阶单位矩阵.
设A为n阶方阵,且A2=A,证明:若A的秩为r<n,则A—E的秩为n一r,其中E是n阶单位矩阵.
admin
2016-07-11
60
问题
设A为n阶方阵,且A
2
=A,证明:若A的秩为r<n,则A—E的秩为n一r,其中E是n阶单位矩阵.
选项
答案
因为A
2
=A,所以A(A—E)=0.A的秩为r<n,则Ax=0的解空间的维数为n—r,而A—E的列向量都是Ax=0的解,于是A—E的列向量极大无关组中向量的个数≤n一r,即r(A—E)≤n一r,所以r+r(A—E)≤n,所以r(A)+r(A—E)≤n, 又因为r(A)+r(A—E)=r(A)+r(E—A)≥r(A+E—A)=r(E)=n. 所以,r(A)+r(A—E)=n,所以r(A—E)=n一r.
解析
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线性代数(经管类)题库公共课分类
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线性代数(经管类)
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