设A为n阶方阵，且A2=A，证明：若A的秩为r＜n，则A—E的秩为n一r，其中E是n阶单位矩阵．

admin2016-07-11 54

问题设A为n阶方阵，且A²=A，证明：若A的秩为r＜n，则A—E的秩为n一r，其中E是n阶单位矩阵．

选项

答案因为A²=A，所以A(A—E)=0．A的秩为r＜n，则Ax=0的解空间的维数为n—r，而A—E的列向量都是Ax=0的解，于是A—E的列向量极大无关组中向量的个数≤n一r，即r(A—E)≤n一r，所以r+r(A—E)≤n，所以r(A)+r(A—E)≤n，又因为r(A)+r(A—E)=r(A)+r(E—A)≥r(A+E—A)=r(E)=n．所以，r(A)+r(A—E)=n，所以r(A—E)=n一r．

解析

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