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  3. 如下图所示，设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可微且f(x)＞0，f(a)=f(b)。设ι为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数f(x)的图象上并支撑在点A(ζ，f(ζ))上，从直观上看， 证明函数在ζ处取

如下图所示，设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可微且f(x)＞0，f(a)=f(b)。设ι为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数f(x)的图象上并支撑在点A(ζ，f(ζ))上，从直观上看， 证明函数在ζ处取

admin2015-06-14  51
问题 如下图所示，设0＜a＜b，函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可微且f(x)＞0，f(a)=f(b)。设ι为绕原点O可转动的细棍(射线)，放手后落在函数f(x)的图象上并支撑在点A(ζ，f(ζ))上，从直观上看，
   
    证明函数在ζ处取得最大值，并由此证明(*)式。
   
选项
答案证明：函数f(x)在[a，b]连续，(a，b)可微，b＞a＞0，则[*]在[a，b]连续，(a，b)可微。F[*]，令F(x)=0，则F(x)在(a，b)存在极值点满足f′(x)x-f(x)=0，即为x=ζ∈(a，b)是函数F(x)的极值点，且[*]。又在(a，b)内，f(a)=f(b)=0，且f(x)＞0，则F(a)=F(b)=0，且F(ζ)＞F(a)=F(b)，所以函数[*]在ζ处取得最大值。
解析
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