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设向量组α1,α2,α3为3维向量空间R3的一个基,令β1=2α1+2kα3,β2=2α2,β3=2α1+(k+1)α3. 当k为何值时,存在非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同,并求出所有的ξ.
设向量组α1,α2,α3为3维向量空间R3的一个基,令β1=2α1+2kα3,β2=2α2,β3=2α1+(k+1)α3. 当k为何值时,存在非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同,并求出所有的ξ.
admin
2020-04-30
18
问题
设向量组α
1
,α
2
,α
3
为3维向量空间R
3
的一个基,令β
1
=2α
1
+2kα
3
,β
2
=2α
2
,β
3
=2α
1
+(k+1)α
3
.
当k为何值时,存在非零向量ξ在基α
1
,α
2
,α
3
与基β
1
,β
2
,β
3
下的坐标相同,并求出所有的ξ.
选项
答案
设[*],则P为从基α
1
,α
2
,α
3
到基β
1
,β
2
,β
3
的过渡矩阵.又设ξ在基α
1
,α
2
,α
3
下的坐标为x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则ξ在基β
1
,β
2
,β
3
下的坐标为P
-1
x.由已知有x=P
-1
x,从而px=x.即(P-E)x=0. 又由于ξ≠0,所以其坐标向量x≠0,即齐次线性方程组(P-E)x=0应有非零解,于是[*],因此当k=0时,齐次线性方程组的非零解为[*],其中c为任意常数.从而ξ=-cα
1
+0α
2
+cα
3
,c为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/t2v4777K
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考研数学一
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