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已知总体X的概率密度f(x)=(λ>0),X1,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,Y=X2. (I)求Y的期望E(Y)(记E(Y)为b); (Ⅱ)求λ的矩估计量和最大似然估计量; (Ⅲ)利用上述结果求b的最大似然估计量.
已知总体X的概率密度f(x)=(λ>0),X1,…,Xn为来自总体X的简单随机样本,Y=X2. (I)求Y的期望E(Y)(记E(Y)为b); (Ⅱ)求λ的矩估计量和最大似然估计量; (Ⅲ)利用上述结果求b的最大似然估计量.
admin
2016-01-12
139
问题
已知总体X的概率密度f(x)=
(λ>0),X
1
,…,X
n
为来自总体X的简单随机样本,Y=X
2
.
(I)求Y的期望E(Y)(记E(Y)为b);
(Ⅱ)求λ的矩估计量
和最大似然估计量
;
(Ⅲ)利用上述结果求b的最大似然估计量.
选项
答案
(I)直接根据公式Eg(X)=∫
-∞
+∞
g(x)f(x)dx计算. E(Y)=E(X
2
)=∫
2
+∞
x
2
λe
-λ(x-2)
dx[*] ∫
0
+∞
(t+2)
2
λe
-λt
dt =∫
0
+∞
t
2
λe
-λt
dt+4∫
0
+∞
tλe
-λt
dt+4∫
0
+∞
λe
-λt
dt =[*] (Ⅱ)令μ=E(X),其中 [*] 样本X
1
,…,X
n
的似然函数为 [*] (Ⅲ)因为[*]是λ的单调连续函数,有单值反函数,根据最大似然估计不变原理,b的最大似然估计为 [*]
解析
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考研数学三
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