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(2009年真题)若矩阵,A是B的相似矩阵,则矩阵A+E(E是单位矩阵)的秩是[ ]。
(2009年真题)若矩阵,A是B的相似矩阵,则矩阵A+E(E是单位矩阵)的秩是[ ]。
admin
2015-04-14
79
问题
(2009年真题)若矩阵
,A是B的相似矩阵,则矩阵A+E(E是单位矩阵)的秩是[ ]。
选项
A、0
B、1
C、2
D、3
答案
B
解析
本题考查了矩阵特征值的求法、相似矩阵的概念及相似矩阵的性质。
解法1
令
得矩阵B的特征值为
λ
1
=λ
2
=-1,λ
3
=1。
因A是B的相似矩阵,所以A的特征值也是λ
1
=λ
2
=-1,λ
3
=1。
,
r(B-λ
1
E)-1,因此λ
1
=λ
2
=-1对应于两个线性无关的特征向量,所以B可对角化,进而A也可对角化,从而可设
这时r(A+E)=1。故正确选项为B。
解法2
由于A是B的相似矩阵,所以存在可逆矩阵P,使得
A=P
-1
BP,于是A+E=P
-1
BP+E=P
-1
BP+P
-1
P=P
-1
(B+E)P。
从而r(A+E)=r(P
-1
(B+E)P)=r(B+E)。又
显然r(B+E)=1,故r(A+E)=1。
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