设A为m×n矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0，必有( )

admin2018-11-22 23

问题设A为m×n矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)A^TAX=0，必有( )

选项 A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解．
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．

答案A

解析设α是AX=0的解，即Aα=0，则A^TAα=0，即(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解．
设β是A^TAX=0的解，则A^TAβ=0．两边左乘β^T，得到β^TA^TAβ=β^T0=0，整理可得(Aβ)^TAβ=0，从而得到Aβ=0，即(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解．

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