设A为m×n矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0,必有( )

admin2018-11-22  20

问题 设A为m×n矩阵,对于齐次线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0,必有(    )

选项 A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解.
B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解,但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解.
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解.
D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解,(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解.

答案A

解析 设α是AX=0的解,即Aα=0,则ATAα=0,即(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解.
    设β是ATAX=0的解,则ATAβ=0.两边左乘βT,得到βTATAβ=βT0=0,整理可得(Aβ)TAβ=0,从而得到Aβ=0,即(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解.
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