2. 考研
  3. 设A，B均是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

设A，B均是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

admin2016-05-31  75
问题 设A，B均是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．
选项
答案设r(A)=r，r(B)=s，且α1，α2，…，αn-r是齐次方程组Ax=0的基础解系，即矩阵A关于λ=0的特征向量，同理，β1，β2，…βn-s是B关于λ=0的特征向量．那么，向量组α1，α2，…αn-r，β1，β2，…，βn-s必然线性相关(由于n-r+n-s=n+(n-r-s)＞n)． 于是存在不全为零的实数k1，k2，…，kn-r，l2，…，ln-s，使 k1α1+k2α2+…+kn-rαn-r+l1β1+l2β2+…+ln-sβn-s=0． 因为α1，α2，…αn-r线性无关，β1，β2，…，βn-s线性无关，所以k1，k2，…，kn-r与l1，l2，…，ln-s必分 别不全为零，令 γ=k1α1+k2α2+…+kn-rαn-r+…=-(l1β1+l2β2+…+ln-sβn-s)． 由γ≠0，从特征向量性质知，γ既是A关于λ=0的特征向量，也是B关于λ=0的特征向量，因而A，B有公共的特征向量．
解析
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考研数学三

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