设A，B均是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

admin2016-05-31 30

问题设A，B均是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

选项

答案设r(A)=r，r(B)=s，且α₁，α₂，…，α_n-r是齐次方程组Ax=0的基础解系，即矩阵A关于λ=0的特征向量，同理，β₁，β₂，…β_n-s是B关于λ=0的特征向量．那么，向量组α₁，α₂，…α_n-r，β₁，β₂，…，β_n-s必然线性相关(由于n-r+n-s=n+(n-r-s)＞n)．于是存在不全为零的实数k₁，k₂，…，k_n-r，l₂，…，l_n-s，使 k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-rα_n-r+l₁β₁+l₂β₂+…+l_n-sβ_n-s=0．因为α₁，α₂，…α_n-r线性无关，β₁，β₂，…，β_n-s线性无关，所以k₁，k₂，…，k_n-r与l₁，l₂，…，l_n-s必分别不全为零，令 γ=k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-rα_n-r+…=-(l₁β₁+l₂β₂+…+l_n-sβ_n-s)．由γ≠0，从特征向量性质知，γ既是A关于λ=0的特征向量，也是B关于λ=0的特征向量，因而A，B有公共的特征向量．

解析

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考研数学三

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设A，B均是n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n，证明A，B有公共的特征向量．

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