[2005年] 设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“MN”表示“M的充分必要条件是N”,则必有( ).

admin2019-04-05  67

问题 [2005年]  设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,“MN”表示“M的充分必要条件是N”,则必有(  ).

选项 A、F(x)是偶函数f(x)是奇函数
B、F(x)是奇函数f(x)是偶函数
C、F(x)是周期偶函数f(x)是周期函数
D、F(x)是单调函数f(x)是单调函数

答案A

解析   利用命题1.1.1.1判别之,也可利用原函数的性质证明判别.
由题设可知,F(x)=∫0xf(t)dt+k(k为一常数),则f(x)为奇函数→∫0xf(t)dt为偶函数→f(x)的全体原函数为偶函数→F(x)是偶函数(因F(x)是f(x)的一个原函数).
反之,若F(x)为偶函数→F(一x)=F(x)→[F(一x)]'x=F'(x),即F'(-x)(一1)=F'(x),亦即f(一x)(一1)=f(x)(因F'(x)=f(x))→一f(一x)=f(x)→f(x)为奇函数.仅(A)入选.
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