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设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=,f(1)=1,f’(1)=1,证明: (I)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=ξ; (Ⅱ)存在η∈(0,1),使得f"(η)+f’(η)一η=1·
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=,f(1)=1,f’(1)=1,证明: (I)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=ξ; (Ⅱ)存在η∈(0,1),使得f"(η)+f’(η)一η=1·
admin
2020-09-23
36
问题
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=
,f(1)=1,f’(1)=1,证明:
(I)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=ξ;
(Ⅱ)存在η∈(0,1),使得f"(η)+f’(η)一η=1·
选项
答案
(I)取F(x)=f(x)一[*],则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,F(0)=f(0)=[*],F(1)=f(1)一[*]由罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得 F’(ξ)=[f’(x)一x]|
x=ξ
=0,即f’(ξ)=ξ. (Ⅱ)取G(x)=[f’(x)一x]e
x
,则G’(x)=[f”(x)+f’(x)一x—1]e
x
, 显然G(x)在[ξ,1]上连续,在(ξ,1)内可导,G(ξ)=G(1)=0,由罗尔定理,存在η∈(ξ,1)[*](0,1),使得 G’(η)=[f”(η)+f’(η)一η一1]e
η
=0,即f”(η)+f’(η)一η=1.
解析
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考研数学一
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