已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点处的切线平行于直线2x—y+5=0，而y(x)满足微分方程y’’一6y’+9y=e3x，则此曲线方程为y= ( )

admin2018-10-17 4

问题已知曲线y=y(x)经过原点，且在原点处的切线平行于直线2x—y+5=0，而y(x)满足微分方程y^’’一6y^’+9y=e^3x，则此曲线方程为y= ( )

选项 A、sin2x
B、

x²e^3x+sin2x
C、

x(x+4)e^3x
D、(x²cosx+sin2x)e^3x

答案C

解析原方程对应的二阶齐次微分方程的特征方程r²一6r+9=(r－3)²=0，所以其特征根为r₁=r₂=3，二阶齐次方程对应通解为y=(C₁+C₂x)e^3x，λ=3是方程的二重特征根，原方程特解形式为y^*=Ax²e^3x，(y^*)^’=(3Ax²+2Ax)e^3x，(y^*)^’’=(9Ax²+12Ax＋2A)e^3x．代入到方程中可得A=