2. 考研
  3. 设数列{an}=0满足条件： a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，S(x)是幂级数anxn的和函数． (1)证明S"(x)一S(x)=0； (2)求S(x)的表达式．

设数列{an}=0满足条件： a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，S(x)是幂级数anxn的和函数． (1)证明S"(x)一S(x)=0； (2)求S(x)的表达式．

admin2017-07-26  59
问题 设数列{an}=0满足条件：
a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，S(x)是幂级数anxn的和函数．
(1)证明S"(x)一S(x)=0；
(2)求S(x)的表达式．
选项
答案[*] 故 S"(x)一S(x)=0． (2)由(1)得关于S(x)的微分方程S"(z)一S(x)=0，对应的特征方程为λ2一1=0 解得特征根为λ1=一1，λ2=1，所以方程通解为S(x)=C1e—x+C2ex． 由 S(0)=a0=3， 有 C1+C2=3， S’(0)=a1=1， 有 一C1+C2=1， 易知 C1=1，C2=2．所以S(x)的表达式为S(x)=e—x+2ex．
解析 利用幂级数在收敛区间内的逐项求导性质求解．
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考研数学三

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