计算下列二重积分:

admin2017-10-23  36

问题 计算下列二重积分:

选项

答案(Ⅰ)交换积分顺序.由于0≤x≤1时,区域D的下侧边界为y=x,上侧边界为y=[*],其图形为图4.28.这样,就有 [*] =∫01(1一y)sinydy =∫01(y—1)d(cosy) =(y一1)cosy|01一∫01cosyd(y—1) =1一∫01cosydy=1一sin1. [*] (Ⅱ)由现有积分限画出积分区域的图形为图4.29,这样就有 [*] (Ⅳ)积分区域D是三角形,如图4.31所示,交换x,y的积分次序,得 [*] 所以原式=π∫0af’(y)dy=πf(y)|0a=π[f(a)一f(a)].

解析 本题虽然是二重积分的计算,而且已经化成了累次积分,但是都不是初等函数,所以不能先对y积分,必须交换积分顺序.
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