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已知函数f(x)=a2lnx-x2+ax,其中a>0, (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x∈[1,e]时(e为自然对数的底数),求当满足f(x)≤e2的a的取值范围。
已知函数f(x)=a2lnx-x2+ax,其中a>0, (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x∈[1,e]时(e为自然对数的底数),求当满足f(x)≤e2的a的取值范围。
admin
2017-12-17
17
问题
已知函数f(x)=a
2
lnx-x
2
+ax,其中a>0,
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x∈[1,e]时(e为自然对数的底数),求当满足f(x)≤e
2
的a的取值范围。
选项
答案
(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),则 [*] 令f’(x)=0,即一2x
2
+ax+a
2
=0,解得[*]x=a,于是有 [*] 所以f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减。 (2)f(1)=a-l,f(e)=a
2
一e
2
+ae; ①当0<a<1时,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)在x=1处取得最大值,若f(x)≤e
2
,则f(1)≤e
2
,即a-1≤e
2
,所以 0<a<1; ②当a∈[1,e]时,f(x)在x=a处取得最大值,若f(x)≤e
2
,则f(a)=a
2
lna≤e
2
,设函数g(a)=a
2
1na,g’(a)=2alna+a在定义域(0,+∞)恒大于零,所以g(a)单调递增,所以在a∈[1,e] 时,g(a)
max
=g(e)≤e
2
,g(a)≤e
2
恒成立,所以1≤a≤e; ③当a>e时,f((x)在[1,e]上单调递增,f(x)在x=e处取得最大值,若f(x)≤e
2
,则f(e)=a
2
一e
2
+ae≤e
2
,解 得一2e≤a≤e,故a不存在。 综上,当0<a≤e时,f(x)在[1,e]恒有f(x)≤e
2
。
解析
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