2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=a2lnx-x2+ax，其中a＞0， (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x∈[1，e]时(e为自然对数的底数)，求当满足f(x)≤e2的a的取值范围。

已知函数f(x)=a2lnx-x2+ax，其中a＞0， (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x∈[1，e]时(e为自然对数的底数)，求当满足f(x)≤e2的a的取值范围。

admin2017-12-17  21
问题 已知函数f(x)=a2lnx-x2+ax，其中a＞0，
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当x∈[1，e]时(e为自然对数的底数)，求当满足f(x)≤e2的a的取值范围。
选项
答案(1)由已知得f(x)的定义域为(0，+∞)，则 [*] 令f’(x)=0，即一2x2+ax+a2=0，解得[*]x=a，于是有 [*] 所以f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，+∞)上单调递减。 (2)f(1)=a-l，f(e)=a2一e2+ae； ①当0＜a＜1时，f(x)在[1，e]上单调递减，f(x)在x=1处取得最大值，若f(x)≤e2，则f(1)≤e2，即a-1≤e2，所以 0＜a＜1； ②当a∈[1，e]时，f(x)在x=a处取得最大值，若f(x)≤e2，则f(a)=a2lna≤e2，设函数g(a)=a21na，g’(a)=2alna+a在定义域(0，+∞)恒大于零，所以g(a)单调递增，所以在a∈[1，e] 时，g(a)max=g(e)≤e2，g(a)≤e2恒成立，所以1≤a≤e； ③当a＞e时，f((x)在[1，e]上单调递增，f(x)在x=e处取得最大值，若f(x)≤e2，则f(e)=a2一e2+ae≤e2，解 得一2e≤a≤e，故a不存在。 综上，当0＜a≤e时，f(x)在[1，e]恒有f(x)≤e2。
解析
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