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[2016年] 设函数fi(x)(i=l,2)具有二阶连续导数,且f″i(x0)<0(i=1,2), 若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在x
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admin
2021-01-19
84
问题
[2016年] 设函数f
i
(x)(i=l,2)具有二阶连续导数,且f″
i
(x
0
)<0(i=1,2),
若两条曲线y=f
i
(x)(i=1,2)在点(x
0
,y
0
)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f
1
(x)的曲率大于曲线y=f
2
(x)的曲率,则在x
0
的某个邻域内,有( ).
选项
A、f
1
(x)≤f
2
(x)≤g(x)
B、f
2
(x)≤f
1
(x)≤g(x)
C、f
1
(x)≤g(x)≤f
2
(x)
D、f
2
(x)≤g(x)≤f
1
(x)
答案
A
解析
利用曲率公式和题设条件找出两曲线f
1
(x)和f
2
(x)与其公切线的位置关系及两曲线f
1
(x)与f
2
(x)之间的位置关系,从而确定其大小关系.
因曲线y=f
1
(x)与y=f
2
(x)在(x
0
,y
0
)处有公切线,则f
1
(x
0
)=f
2
(x
0
),f′
1
(x
0
)
=f′
2
(x
0
).设f
1
(x)与f
2
(x)在(x
0
,y
0
)处的曲率分别为k
1
,k
2
,则k
1
>k
2
,即
因f′
1
(x
0
)=f′
2
(x
0
),故∣f″
1
(x
0
)∣>∣f″
2
(x
0
)∣.而f″
1
(x
0
)<0.f″
2
(x
0
)<0,所以
f″
1
(x
0
)<f″
2
(x
0
)<0.从而在x
0
的某个领域内f
1
(x),f
2
(z)均为凸函数,故f
1
(x)≤g(x),f
2
(x)≤g(x).于是选项(C),(D)不成立.
为进一步找出f
1
(x)与f
2
(x)的位置关系,令F(x)=f
1
(x)一f
2
(x),则
F(x
0
)=0, F′(x
0
)=0, F″(x
0
)=f″
1
(x
0
)一f″
2
(x
0
)<0.
由定理1.2.5.2知,x=x
0
为F(x)的极大值点,则F(x)≤F(x
0
)=0,即f
1
(x)≤f
2
(x),于是排除选项(B).仅(A)入选.
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0
考研数学二
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