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  3. [2016年] 设函数fi(x)(i=l，2)具有二阶连续导数，且f″i(x0)＜0(i=1，2)， 若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x

[2016年] 设函数fi(x)(i=l，2)具有二阶连续导数，且f″i(x0)＜0(i=1，2)， 若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x

admin2021-01-19  37
问题 [2016年]  设函数fi(x)(i=l，2)具有二阶连续导数，且f″i(x0)＜0(i=1，2)，
若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有(    )．
选项 A、f1(x)≤f2(x)≤g(x)
B、f2(x)≤f1(x)≤g(x)
C、f1(x)≤g(x)≤f2(x)
D、f2(x)≤g(x)≤f1(x)
答案A
解析 利用曲率公式和题设条件找出两曲线f1(x)和f2(x)与其公切线的位置关系及两曲线f1(x)与f2(x)之间的位置关系，从而确定其大小关系．
    因曲线y=f1(x)与y=f2(x)在(x0，y0)处有公切线，则f1(x0)=f2(x0)，f′1(x0)
=f′2(x0)．设f1(x)与f2(x)在(x0，y0)处的曲率分别为k1，k2，则k1＞k2，即

    因f′1(x0)=f′2(x0)，故∣f″1(x0)∣＞∣f″2(x0)∣．而f″1(x0)＜0．f″2(x0)＜0，所以
f″1(x0)＜f″2(x0)＜0．从而在x0的某个领域内f1(x)，f2(z)均为凸函数，故f1(x)≤g(x)，f2(x)≤g(x)．于是选项(C)，(D)不成立．
为进一步找出f1(x)与f2(x)的位置关系，令F(x)=f1(x)一f2(x)，则
    F(x0)=0，  F′(x0)=0，  F″(x0)=f″1(x0)一f″2(x0)＜0．
    由定理1．2．5．2知，x=x0为F(x)的极大值点，则F(x)≤F(x0)=0，即f1(x)≤f2(x)，于是排除选项(B)．仅(A)入选．
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考研数学二

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