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已知三元二次型χTAχ的平方项系数都为0,α=(1,2,-1)T满足Aα=2α. ①求χTAχ的表达式. ②求作正交变换χ=Qy,把χTAχ化为标准二次型.
已知三元二次型χTAχ的平方项系数都为0,α=(1,2,-1)T满足Aα=2α. ①求χTAχ的表达式. ②求作正交变换χ=Qy,把χTAχ化为标准二次型.
admin
2017-11-21
48
问题
已知三元二次型χ
T
Aχ的平方项系数都为0,α=(1,2,-1)
T
满足Aα=2α.
①求χ
T
Aχ的表达式.
②求作正交变换χ=Qy,把χ
T
Aχ化为标准二次型.
选项
答案
①设A=[*]则条件Aα=2α即 [*] 得2a-b=2,a-c=4,b+2c=-2,解出a=b=2,c=-2. 此二次型为4χ
1
χ
2
+4χ
1
χ
3
-4χ
2
χ
3
. ②先求A特征值 |λE-A|=[*]=(λ-2)
2
(λ+4). 于是A的特征值就是2,2,-4. 再求单位正交特征向量组 属于2的特征向量是(A-2E)χ=0的非零解. [*] 得(A-2E)χ=0的同解方程组:χ
1
-χ
2
-χ
3
=0. 显然β
1
=(1,1,0)
T
是一个解,设第二个解为β
2
=(1,-1,c)
T
代入方程得c=2,得到属于特征值2的两个正交的特征向量β
1
,β
2
.再把它们单位 化: 记η
1
=β
1
/‖β
1
‖=[*]β
1
,η
2
=β
2
/‖β
2
‖=[*]β
2
. 属于-4的特征向量是(A+4E)χ=0的非零解. 求出β
3
=(1,-1,-1)
T
是一个解,单位化: 记η
3
=β
3
/‖β
3
‖=[*]β
3
则η
1
,η
2
,η
3
是A的单位正交特征向量组,特征值依次为2,2,-4. 作正交矩阵Q=(η
1
,η
2
,η
3
),则Q
-1
AQ是对角矩阵,对角线上的元素为2,2,-4. 作正交变换χ=Qy,它把f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)化为2y
1
2
+2y
2
2
-4y
3
2
.
解析
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考研数学二
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