求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2017-04-24 44

问题求曲线x³一xy+y³=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

选项

答案设(x，y)为曲线上的点，目标函数为f(x，y)=x²+y²，构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=x²+y²+λ(x³一xy+y³—1)．令 [*]= 2x+(3x²一 y)λ= 0 ① [*]= 2y+(3y²一x)λ=0 ② [*]= x³一xy+y³一1=0 ③ 当x＞0，y＞0时，由①，②得[*]即3xy(y一x)=(x+y)(x一y)，得y=x，或3xy=一(x+y)(由于x＞0，y＞0，舍去)．将y=x代入③得2x³一x² 一1=0，即(2x²+x+1) (x一1)=0，所以(1，1)为唯一可能的极值点，此时[*] 当x=0，y=1或x=1，y=0时， [*] 故所求最长距离为[*]，最短距离为1．

解析

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