2. 考研
  3. 求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．

admin2017-04-24  35
问题 求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．
选项
答案设(x，y)为曲线上的点，目标函数为f(x，y)=x2+y2，构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=x2+y2+λ(x3一xy+y3—1)． 令 [*]= 2x+(3x2一 y)λ= 0 ① [*]= 2y+(3y2一x)λ=0 ② [*]= x3一xy+y3一1=0 ③ 当x＞0，y＞0时，由①，②得[*]即3xy(y一x)=(x+y)(x一y)，得y=x，或3xy=一(x+y)(由于x＞0，y＞0，舍去)． 将y=x代入③得2x3一x2 一1=0，即(2x2+x+1) (x一1)=0，所以(1，1)为唯一可能的极值点，此时[*] 当x=0，y=1或x=1，y=0时， [*] 故所求最长距离为[*]，最短距离为1．
解析
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考研数学二

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