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  3. [2009年] 计算二重积分(x—y)dxdy，其中D={(x，y)∣(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x)．

[2009年] 计算二重积分(x—y)dxdy，其中D={(x，y)∣(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x)．

admin2019-05-10  73
问题 [2009年]  计算二重积分(x—y)dxdy，其中D={(x，y)∣(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x)．
选项
答案D为圆域的一部分，可用极坐标系计算．极点可选在圆心上，也可选在点(1，1)上，如用直角坐标计算，则要分区域计算． [*] 解一 设x=rcosθ，y=rsinθ(以原点为极点)，由 (x一1)2+(y一1)2=2得到 x2+y2=r2=2(x+y)=2r(cosθ+sinθ)， 即 r=2(cosθ+sinθ)， D={(r，θ)∣π／4≤0≤3π／4，0≤r≤2(cosθ+sinθ)}， 则 [*](x—y)dxdy=∫π/43π/4dθ∫02(sinθ+cosθ)r(cosθ—sinθ)rdr=∫π/43π/4[[*](cosθ－sinθ)r3∣02(sinθ+cosθ)]dθ =∫π/43π/4[*](cosθ一sinθ)．(sinθ+cosθ)．(sinθ+cosθ)2dθ =[*]∫π/43π/4(sinθ+cosθ)3d(sinθ+cosθ) =[*] 解二 设x一1=rcosθ，y一1=rsinθ，则由 (x一1)2+(y一1)2=r2cos2θ+r2sin2θ=r2=2， 得到r=√2．由D的图形已看出π／4≤θ≤5π／4，则以圆心(1，1)为极点的积分区域为 D={(r，θ)∣π／4≤0≤5π／4，0≤r≤√2)， 因而[*](x—y)dxdy=∫π/45π/4dθ∫0√2(cosθ一sinθ)rdr=∫π/45π/4(cosθ一sinθ)[*]r3∣0√2dθ =[*]∫π/45π/4(cosθ一sinθ)dθ=[*]∫π/45π/4d(sinθ+cosθ) [*]
解析
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考研数学二

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