设抛物线y=χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S,其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0). (Ⅰ)求S=S(a)的表达式; (Ⅱ)当a取何值时,面积S(a)最小?

admin2017-03-06  34

问题 设抛物线y=χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S,其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0).
    (Ⅰ)求S=S(a)的表达式;
    (Ⅱ)当a取何值时,面积S(a)最小?

选项

答案(Ⅰ)设另一个切点为(χ0,χ02),则抛物线y=χ2的两条切线分别为 L1:y=2aχ-a2, L2:y=2χ0χ-χ02. 因为L1⊥L2,所以χ0=-[*],两条切线L1,L2的交点为χ1=[*],y1=aχ0,L1,L2及抛物线y=χ2。所围成的面积为 [*] (Ⅱ)S′(a)=[*]=0,得a=[*]. 因为当a∈(0,[*])时,S′(a)<0, 当a>[*]时,S′(a)>0, 所以当a=[*]时,面积S(a)取最小值.

解析
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