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设矩阵,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.
设矩阵,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.
admin
2013-03-04
63
问题
设矩阵
,矩阵B=(kE+A)
2
,其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵A,使B与A相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.
选项
答案
由于A是实对称矩阵,有 B
T
=[(kE+A)
2
]
T
=[(kE+A)
T
]
2
=(k+A)
2
=B. 即B是实对称矩阵,故B必可相似对角化. 由[*]=λ(λ-2)
2
可得到k的特征值是λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0. 那么,kE+A的特征值是k+2,k+2,k,而(kE+A)
2
的特征值是(k+2)
2
,(k+2)
2
,k
2
. 故[*] 因为矩阵B正定的充分必要条件是特征值全大于0,可见当k≠-2且k≠0时,矩阵B正定.
解析
由于B是实对称矩阵,B必可相似对角化,而对角矩阵A即B的特征值,只要求出B的特征值即知A,又因正定的充分必要条件是特征伉伞大于0,k的取值亦可求出.
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考研数学三
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