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  3. 已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B=(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。

已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B=(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。

admin2015-09-14  58
问题 已知3阶矩阵A的第1行是(a，b，c)，矩阵B=(k为常数)，且AB=0，求线性方程组Ax=0的通解。
选项
答案由于AB=0，知B的每一列都是方程组Ax=0的解，因此Ax=0至少有r(B)个线性无关解，所以Ax=0的基础解系至少含r(B)个向量，即3一r(A)≥r(B)，或r(A)≤3一r(B)。又由a，b，c不全为零，可知r(A)≥1． 当k≠9时，r(B)=2，有1≤r(A)≤1，于是r(A)=1； 当k=0时，r(B)=1，有1≤r(A)≤2，于是r(A)=1或r(A)=2． 当k≠9时。由AB=0可得 [*] 由于η1=(1，2，3)T，η2=(3，6，k)T线性无关，故η2为Ax=0的一个基础解系，于是Ax=0的通解为x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数当k=9时，分别就r(A)=2和R(A)=1讨论如下：如果r(A)=2，则Ax=0的基础解系由一个向量构成，又因为 [*] 所以Ax=0的通解为x=c1(1，2，3)T，其中c1为任意常数。如果r(A)=1，则Ax=0的基础解系由两个向量构成。又因为A的第一行为(a，b，c)且a，b，c不全为零，所以Ax=0等价于ax1+bx2+cx3=0．不妨设a≠0，则η1=(一b，a，0)T，η2=(一c，0，a)T是Ax=0的两个线性无关的解，从而η1，η2可作为Ax=0的基础解系，故Ax=0的通解为x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数。
解析
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考研数学三

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