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已知3阶矩阵A的第1行是(a,b,c),矩阵B=(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解。
已知3阶矩阵A的第1行是(a,b,c),矩阵B=(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解。
admin
2015-09-14
53
问题
已知3阶矩阵A的第1行是(a,b,c),矩阵B=
(k为常数),且AB=0,求线性方程组Ax=0的通解。
选项
答案
由于AB=0,知B的每一列都是方程组Ax=0的解,因此Ax=0至少有r(B)个线性无关解,所以Ax=0的基础解系至少含r(B)个向量,即3一r(A)≥r(B),或r(A)≤3一r(B)。又由a,b,c不全为零,可知r(A)≥1. 当k≠9时,r(B)=2,有1≤r(A)≤1,于是r(A)=1; 当k=0时,r(B)=1,有1≤r(A)≤2,于是r(A)=1或r(A)=2. 当k≠9时。由AB=0可得 [*] 由于η
1
=(1,2,3)
T
,η
2
=(3,6,k)
T
线性无关,故η
2
为Ax=0的一个基础解系,于是Ax=0的通解为x=c
1
η
1
+c
2
η
2
,其中c
1
,c
2
为任意常数当k=9时,分别就r(A)=2和R(A)=1讨论如下:如果r(A)=2,则Ax=0的基础解系由一个向量构成,又因为 [*] 所以Ax=0的通解为x=c
1
(1,2,3)
T
,其中c
1
为任意常数。如果r(A)=1,则Ax=0的基础解系由两个向量构成。又因为A的第一行为(a,b,c)且a,b,c不全为零,所以Ax=0等价于ax
1
+bx
2
+cx
3
=0.不妨设a≠0,则η
1
=(一b,a,0)
T
,η
2
=(一c,0,a)
T
是Ax=0的两个线性无关的解,从而η
1
,η
2
可作为Ax=0的基础解系,故Ax=0的通解为x=c
1
η
1
+c
2
η
2
,其中c
1
,c
2
为任意常数。
解析
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考研数学三
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