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考研
证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．
证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．
admin
2015-07-22
78
问题
证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．
选项
答案
设A=[α
1
，α
2
，…，α
n
]，B=[β
1
，β
2
，…，β
n
]，则 A+B=[α
1
+β
1
，α
2
+β
2
，…，α
n
+β
n
]． 由于A+B的列向量组α
1
+β
1
，α
2
+β
2
，…，α
n
+β
n
都是由向量组α
1
，α
2
，…，α
n
，β
1
，β
2
，…，β
n
线性表出的，故 r(α
1
+β
1
，α
2
+β
2
，…，α
n
+β
n
)≤r(α
1
，α
2
，…，α
n
，β
1
，β
2
，…，β
n
)． 又由于 r(α
1
，α
2
，…，α
n
，β
1
，β
2
，…，β
n
)≤r(α
1
，α
2
，…，α
n
)+r(β
1
，β
2
，…，β
n
)， 故 r(A+B)=r(α
1
+β
1
，α
2
+β
2
，…，α
n
+β
n
) ≤r(α
1
，α
2
，…，α
n
，β
1
，β
2
，…，β
n
) ≤r(α
1
，α
2
，…，α
n
)+r(β
1
，β
2
，…，β
n
) =r(A)+r(B)．
解析
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考研数学三
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