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考研
证明:r(A+B)≤r(A)+r(B).
证明:r(A+B)≤r(A)+r(B).
admin
2015-07-22
60
问题
证明:r(A+B)≤r(A)+r(B).
选项
答案
设A=[α
1
,α
2
,…,α
n
],B=[β
1
,β
2
,…,β
n
],则 A+B=[α
1
+β
1
,α
2
+β
2
,…,α
n
+β
n
]. 由于A+B的列向量组α
1
+β
1
,α
2
+β
2
,…,α
n
+β
n
都是由向量组α
1
,α
2
,…,α
n
,β
1
,β
2
,…,β
n
线性表出的,故 r(α
1
+β
1
,α
2
+β
2
,…,α
n
+β
n
)≤r(α
1
,α
2
,…,α
n
,β
1
,β
2
,…,β
n
). 又由于 r(α
1
,α
2
,…,α
n
,β
1
,β
2
,…,β
n
)≤r(α
1
,α
2
,…,α
n
)+r(β
1
,β
2
,…,β
n
), 故 r(A+B)=r(α
1
+β
1
,α
2
+β
2
,…,α
n
+β
n
) ≤r(α
1
,α
2
,…,α
n
,β
1
,β
2
,…,β
n
) ≤r(α
1
,α
2
,…,α
n
)+r(β
1
,β
2
,…,β
n
) =r(A)+r(B).
解析
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考研数学三
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